一次有趣的切割正方形和正方体活动

作者: 徐本顺

刘徽数学活动小组在王老师指导下,进行了一次生动有趣的切割正方形和正方体活动,给小组成员留下了深刻的印象。王老师首先请同学们事先准备好一张正方形的纸,然后提出问题,请同学们回答。

师:“这正方形纸有几个角?”

生:“有4个角。”

师:“如果用刀切去一个角,还剩下几个角?”

甲生:“还剩下3个角。”

师:“你们现在拿出刀来,切切看。”

这时学生拿出小刀,试切正方形纸,当王老师发现有的同学切出如图1所示的形状,又继续提出问题。

师:“大家切出没有,还剩几个角?”

乙生:“还剩下5个角。”

师:“给大家看看,你是怎样切的。还有不同的看法吗?”

生:(默然)。

师:“看来大家同意乙同学的看法,刚才甲同学说,还剩3个角,我说这个答案也对。试试看,怎样切就成3个角呢?”

于是大家又都在试切着,突然甲切出如图2所示的形状,并急于发言。

甲生:“教师,我切出来了。”说完,向大家展示如图2所示的形状。

师:“那么我们的问题,应该怎样回答才算完备呢?

生:“有3个角,或者有5个角。”

师:“除了这两个答案外,还能切成几个角?再试试看。”

过了一会儿,王老师又作了如下的启发。

师:“在图2中,AC是正方形的对角线,这是刀处在一个极端位置上,如果刀不是停在这个位置上,稍微动一下,看能成什么形状?”

丙生:“想起来了,以A为定点,将刀旋转一个角度,停在AE的位置上(如图3所示),这时就得到还有4个角的答案。”

师:“能否在图3的基础上,获得图1所示的形状?”

丁生:“在图3的基础上,以E为固定点,将EA旋转一个角度,就可得到如图1所示的位置。”

师:“这样一来,应该如何全面回答我们所提出的问题。”

生:“全面回答是3个答案,这就是还剩下3个角,或4个角,或5个角。

师:“有没有遗漏的情况,为什么?”

生:“没有了,因为刀在ACD这个范围无论怎样移动,都只能出现上述三种情况之一,不可能出现其它情况了。”

师:“至此,我们才能说把这道题做完了,从解这道题,我们可发现看似一个非常容易的问题,若我们不进行全面细致的思考,也就可能回答错误或不全面,因此我们今后在处理问题时一定要非常小心。”

同学们都觉得老师说得很对,并且觉得解这类题有意思。老师见同学们兴尤未尽。就拿出一个正方体,接着提出下列问题。

师:“这是一个正方体,大家数一下,它有几个顶点?几条棱? 几个面?”

生:“有8个顶点,12条棱,6个面。”

师:“每个顶点形成一个立体角,试问,这正方体共有几个立体角?”

生:“正方体共有8个立体角。”

师:“在这6个面中,每个面有几个角? 一共有多少角?”

生:“每个面有4个角,6个面共有24个角。”

师:“那么用刀切去一个立体角,还剩下几个角?几个立体角? ”

有了上面做题的经验,这次同学们考虑问题就成熟多了,不是抢着回答,而是先在纸上画出正方体,然后试着用不同的方法去切割,计算出每种切法得到的角和立体角。大多数同学得到了如下4个正确答案。

1. 24个角,7个立体角:

2. 26个角,7个立体角;

3. 26个角,9个立体角;

4. 28个角,10个立体角。