圆周率史话

作者: 李宏志(湖南)

据目前考证,人类历史上第一个提出圆周率的是公元前十世纪的古希伯莱人,他们认为π=3。

公元前三世纪,古希腊伟大的数学家阿基米德采用穷竭法从两个方面计算圆的周长,即计算圆内接和圆外切正多边形的周长。他从正六边形开始,然后把边数逐步倍增,一直计算到正96边形,发现直径等于1的圆内接96边形的周长大于310/71,而其外切96边形的周长小于31/7,即310/71<π<31/7 ,用小数表示即为:3.1409<π<3.1429,取其平均值,则π=3.1419。阿基米德得到的π的不等式,第一次在科学上提出了误差的估计以及所得结果精确度的确定方法。

中国人对圆周率的研究,也在公元前若干世纪就已开始了,成书于公元前二世纪的《周髀算经》中,就有“圆径一而周三”的记载,即π = 3。

263年,我国古代杰出的数学家刘徽运用他自己创造的计算圆周率的科学方法——割圆术,即利用圆内接正六边形,然后逐渐把边数加倍,使它与圆逐渐相合的办法来计算圆周率,他算至192边形,得到π=157/50= 3.14。刘徽创造的这种计算方法为此后1千多年间中国圆周率计算在世界上的领先地位奠定了基础。

462年,我国古代伟大的数学家祖冲之运用割圆术,继续推算圆周率。他从圆内接正六边形算起,一直算到圆内接正24576边形,每求一值,需要把同一运算程序反复进行12次,而每一次运算程序又包括加减乘除以及开方等11个步骤。最后,他得到了π值在3.1415926和3.1415927之间。这一结果,需要对9位数字的大数目反复进行各种运算(包括开方)130次以上,这在今天用笔运算也是一项十分复杂的工作,而在当时,祖冲之是用罗列小竹棍来进行运算的。由此,我们可以看到祖冲之为此付出多大的毅力和决心!

祖冲之所求得的π值,是世界上最早的七位小数精确值,直到1424年,阿拉伯数学家卡西才得到了更为精确的π值(16位小数)。为了计算的方便,祖冲之还求出了用分数来表示的两个π值,一个是22/7,称为约率;另一个是355/113,称为密率。密率是分子、分母在一千以内表示圆周率的最佳渐近分数,在国外,这个数值直到1573年,才由德国数学家奥托所得到。祖冲之的这一卓越成就,得到了国际数学界的一致公认,他们把355/113称为“祖率”。

十六世纪以后,最突出的要数德国数学家卢道尔夫,他用了几乎一生的时间,将π的小数算到35位,达到了用儿何法计算π值的顶峰,要再向前推进,就必须在方法上有所突破。

到了十七世纪,出现了数学分析,从此π值的计算历史进入了一个新的阶段。这时,人们采用无穷级数或无穷连乘积来计算π值。1593年,法国数学家韦达发现了计算π值的第一个解析表达式,从此以后,各种关于计算π值的无穷表达式陆续出现,这就大大推进了π值的计算。1699年,英国数学家一下子将π值算到小数后72位;1706年,英国数学家梅钦算到了小数后100位。十九世纪以后,计算π值的解析表达式不断被发现。1948年,弗格森把π的位数推进到808位,这是人工计算π值的最高纪录。 ·

1946年,世界上第一台电子计算机制造成功,使π值的位数急剧增加。1949年达到2035位,1961年达到10万位,1967年达到50万位,1983年达到838万位,1987年,已有人算到2936万位以上,1990年的纪录已超过10亿位。现在打破纪录,不管推进到多少位,也不会令人感到惊奇了。

各国数学家之所以重视π值的计算,其原因是:π值的精确度可以衡量一个国家的计算机实力和数学发展水平;π值的计算可以用来检验计算机的性能和软件的编制水平;π值中有许多奇异数的排列,可供数学家研究、参考。

在π的理论研究上,也取得了重要的成果。1761年,德国数学家兰伯特证明π是一个无理数;1882年,德国数学家林德曼证明π是一个超越数,即π不可能是任何整系数多项式的根,从而彻底否定了“化圆为方”的可能性,结束了两千多年前的一桩“公案”。