切西瓜块数奥妙揭秘

作者: 徐本顺

王老师向刘徽数学小组提出如下一个有趣的问题:

一个西瓜切5刀,最多能切几块?

说完,他就把事先准备好的土豆分给大家,以土豆代替西瓜,让每人拿出刀子,切切试试。于是小组成员就开始切起来。

切一刀,最多切出2块,切两刀,最多切出4块,切3刀,最多切出8块,当切了3刀之后,甲生就不再切下去,他随口说:切4刀最多可切出16块,切5刀就是32块。

师:“甲生说能切出32块,有不同看法吗?”

乙生:“切4刀最多切出15块,这样切5刀就不会切出32块来。”

师:“那么究竟能切出几块呢?”

大家一时得不出答案来,于是王老师又让考虑如下有关问题。

师:“为了揭开切西瓜块数的奥秘,我们可同时再考虑切饼问题,大家不妨拿出一张纸,代替饼,用刀切切看。”

丙生:“切一刀,分成2部分;切两刀,分成4部分;切3刀,分成7部分。”

师:“进而我们可同时考虑切油条的问题,也就是将油条分成几段的问题。”

丁生:“一刀将油条分2段,2刀将油条分成3段,3刀分成4段,一般地,n刀可将油条分成n+1段。”

师:“如果把油条视作一条直线,饼视作平面,西瓜看成整个空间,这样一来,我们的问题就转化成平面分空间、直线分平面和点分直线的问题,把上述三个问题所获得的结果能否列成一个表格?”

戊生:“可将已得结果列成如表1所示的形式。”

表1

师:“从表1中,你能发现三个问题之间有什么联系吗?”

生:默然。

师:“也就是平面被直线分割的份数与直线被点分的份数之间有什么联系,或者空间被平面分割的份数与平面被直线分割的份数之间有什么联系。”

甲生:“通过表1的观察,可发现如下规律:平面被直线分割的份数一列的某一数是本列上行的数加上同一行中左列那个数,例如数字

2 2

4

之间有关系式2+ 2= 4,数字

4 3

7

之间有关系式4+3=7。”

乙生:“同样,对于第二列的数也有这样的规律,即空间被平面分割的份数一列的某一数等于本列上一行的数加上同一行中右列的那个数,例如

4 4

8

之间有关系式4 +4= 8,数字

8 7

15

之间有关系式8 + 7=15。

师:“其它表中未列出数字的空格是否也有此规律呢?我们不妨猜想它是正确的。”

表2

丙生:“这样一来,就可以把表延展到我们所希望的数字为止,为此得到表2。在表2中方框的数字,是通过相加得到的,即7 +4= 11,15+11 = 26。”

师:“这就是说,如果我们猜想是对的,那么处在一般位置的5个平面,将把空间分割成26部分。你能验证吗?”

丁生:“这需要先验证处在一般位置的4条直线把平面分割成11部分,通过画图得知数字11是正确的。”

师:“为什么4条直线分割平面为11部分,恰好是3条直线分成平面部分再加上4部分。这增加的4部分,难道是巧合吗?为什么不是多一条,或者少一条呢?”

甲生:“从3条直线分割平面为7部分(图1)开始考虑,在图1中,任作一条虚线,如图2所示。这条虚直线与原来3条直线各交于一点,交点有3个。这3点将虚线分成4段,其每段把原分的平面分成两部分,这4段虚线产生了 8份新的分割,若消除4份原来的分割,从而得分割数恰好增加了 4,这样就得到了 7 + 4= 11。

师:“处在一般位置的n条直线分割的平面区域数以Ln表示,试证明Ln+1 = Ln + n+1。”

乙生:“由特殊情况证明的启发,可证明如下。n条处在一般位置的直线将平面分割成Ln部分,再增加一条直线,它与前n条直线的交点数为n,这n个点把它划分成n+1段,其每段把原分的平面分成两部分,这n + 1段直线产生了 2(n + 1)份新的分割,若消除原来的n + 1份分割,从而得分割数恰好增加了 n + 1,这样就证明了 Ln+1 = Ln+n+1。”

师:“处在一般位置的n个平面分割的空间份数以Sn表示,则有

Sn+1=Sn+ Ln.

这可通过类比法予以证明,这里就不详述了。”

图1

图2