龟背的图案与奇妙的幻方

作者: 孙永大

相传在公元前23世纪大禹治水的时候,在黄河支流洛水中,浮现出一只大乌龟,背上有一幅奇特的图案,如图1所示。这就是传说中的“洛书”。实际上,这是由1～9共9个数组成的一个3×3方阵,如图2所示。

图1

图2

在图2的数字方阵中,有如下十分有趣的性质；

每行、每列及对角线上数的和都相等,即是15。

从“洛书”中,我们可提出如下的数字问题:

问题1 如何在图3所示的9个方格中分别放置1～9共9个数,使得每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等。

如何解决这一问题呢?下面我们把解决问题的具体思维过程写出来。

图3

1.问题解决过程

图3中每列、每行都相等,而它们的和为1+2+…+9=45,故每行、每列的和S为:

S =(1+2+···+9)÷3=45÷3 = 15.

下面考虑在这9个方格中哪一个最重要?显然是居中的那一个。我们就把注意力先集中在这个方格上。把1～9个数分别试放在这个方格上。如果把9放在中间方格,行不行呢?不行。因为这时无法放置8,无论把8放到哪里,都得把9和8加起来,而其和已超过15。依同样道理,8、7、6也不能放在中间方格。1是不是可以呢?也不行。因为这时2无论放置在什么地方,而为了使行、列、对角线上的数字之和为15,必须加上12。同理2、3、4也不能放在中间方格。唯一能放在中间方格的只有5。

当5的位置确定之后,1应放在何处呢?根据对称性,只有两种可能性,如图4所示。

假设1放在右上角,这时9必须放在左下角。进而考虑2的可能放置。同样根据对称性,2有3种可能性,如图5、图6、图7。而这几种情况都将导致矛盾。

图4

进而得知,1应放在如图8所示的位置,从而9放在第三行中间方格内。这时2仍有3种可能的位置,如图8、图9、图10。将2放在图8所示的位置上,这时右上角必须放置12。而如果将2放在如图9所示的位置上,则无法放置3,因此图10就是唯一的可能性。这样继续下去就得到最后的解答如图2所示。

图5

图6

图7

图8

图9

图10

2.解法二

由于原问题要把1～9共9个数字分成其和为15的“三数组”,我们可以把这样的三数组列举如下:

357,816,456,159,762,681,249,573。上面的数组有重复的,357与573,816与681重复,把重复去掉。是否有遗漏呢?我们可按由小到大的次序进行排列,就可以保证没有遗漏的,现列出如下:

159,168,249,258,267,348,357,456。

中间方格最重要,被包含在4个数组中(两个对角线,一横行,一竖列)。观察上述各数组,发现只有数字5出现在4个数组中,因此中间方格的数就一定是5。4个角上的数字将被包含在3个数组中。观察上述各数组,发现2,4,6,8这4个数都出现了 3次,因此4个角上的数字必须是偶数。这样我们就很快得到解答。

3.问题的引伸

问题1中的9个数,每相邻两数之差都是1,如果不是1,比如:

问题2 如何在图3所示的9个方格中放置 1,8,15,22,29,36,43,50,57共9个数或放置 1,8,15,43,50,57,85,92,99 共 9 个数,使得每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等。我们也可仿照上述问题的解决办法解决。请同学们注意这9个数之间是有一定规律的,同学们也可自己构造新的问题。

由于图2这种3×3方阵的美妙性质,引起人们的极大兴趣,后来发展到4×4, 5×5,……方阵。我国宋朝数学家杨辉把它们称为纵横图,国外称为幻方。幻方的阶数是由行或列的数目来确定的,图2的幻方的阶数为3。行数和列数为奇数的幻方称为奇数阶幻方;如果行数和列数为偶数的幻方称为偶数阶幻方。已有不少方法可构造任意大小的奇数阶幻方;偶数阶幻方的一般构造方法,人们还在探求之中。