从归纳推理到哥德巴赫猜想

作者: 沈文选

在我们学习数学的过程中,往往要进行如下的归纳推理,如:

前面两个数记得结果可能很快说出,后面的呢可能就不行了。又如:

口算:14×16 =? 24×26 = ?61×69 = ? 83 ×87 = ?

这些就更难了,需要较长的时间,或只能用笔计算了。

让我们仔细观察吧,看这些数有什么特征?其乘积又有什么特征?这里是两个两位数相乘,这两个两位数的十位数字相同,其个位数字的和为10,所得乘积的末两位是这两个两位数的个位数相乘,所得积的末两位前面的数是已给的两位数的十位数乘以比十位数大1的数的积。

用字母表示即为:(10a+ b) × (10a+ c),其中1≤a≤9, 1≤b≤9, 1≤c≤9,且b + c =10。此时(10a+b) × (10a+c)=100a2 + 10a( b + c) + bc=100 a ( a + 1) + bc=10a · 10( a + 1) + bc.

由上可知,我们归纳得到的结论是正确的,我们掌握了这个结论,前面的问题就能口算出结果了。这告诉我们,在学习数学时要善于进行归纳推理,即善于由一系列特殊事件、特殊现象中归纳推理出一般事件或事物的某种有规律的结论。

下面的几个例子,你能归纳什么结论?

一般结论是:“任意大于1的奇数的平方可表示成两个连续自然数的平方差。”你能写出如下的算式:(2n + 1)2 = (2n2+2n+1)2-(2n2 + 2n)2 吗?

一般结论是:“从1开始的连续几个奇数的和,就是奇数个数的平方。”你能从如下算式:2 - 1 = n2 - (n - 1 )2,当 n = 1,2,…,n得n个等式两边相加变形给出这个结论的证明吗?

例 3 6 = 3+3,8 = 3+5,10 = 5+5=3+7,12 = 5+7,14 = 7+7=3 + 11,1 = 3 + 13,

从这里德国数学家哥德巴赫归纳出:任何大于4的偶数都可以表示为两个质数的和。这就是著名的哥德巴赫猜想,两百多年来,世界各国数学家投入了大量的精力,取得了一系列成果。1973年,我国数学家陈景润证明了“任何充分大的偶数都是一个素(质)数及一个不超过两个素数的乘积之和。”在国际上被称为“陈氏定理”,尽管看似简单的问题证明却不是容易的,尽管这个猜想还没完全被证明,但在探索证明的过程中,却发现了许多定理,大大推动了数学的研究及发展。口