数学黑洞趣妙多

作者: 彭炜

众所周知,太空中存在着黑洞,其实,在数学领域中也有“黑洞”存在。

西西弗斯串

在希腊神话中,科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上,但无论他怎样努力,这块石头总是在到达山顶之前不可避免地滚下来,于是他只得重新去推,永无休止。

在数学中同样的事情也可能发生。开始时取任何一个数字串,例如,273468,数出这个数中的偶数个数,奇数个数,及这个数中所包含的所有位数的总数,可分别得到4(4个偶数)、3(3个奇数)和7(总共有7位数)。用这3个数字组成下一个数字串:437。对437重复上述程序,得到1、2、3。对123再重复这个程序,又得到123。对这个程序以及数的“宇宙”来说,123就是一个数学黑洞。

那么,是否,每一个数最后都得到123呢?用一个真正大的数试试看。例如122333444455555666666777777788888888999999999,这个数中的偶数、奇数及全部位数的个数分别为20, 25和45,将这三个数合起来得到202545。对202545重复这个程序得到4、2和6,于是又得到426。再重复这个程序从中得303,最后一次重复程序得到 123。

这种数字串有两个重要特征:第一,一旦得到123,就再也出不去了。第二,每一个受到黑洞之力作用的因素最终都被拉进了黑洞。对任何一个数字串反复运用这个程序,最后都将得到123。第二个特征将人吸引进去,第一个特征则使人陷入洞中无法逃脱。

自恋性数字

除了 0和1,自然数中各位数字的立方之和与其本身相等的只有153、370、371和407。我们可以选择一个数,并且只有1个,成为一个黑洞。

例如,如153成为黑洞,开始时取任何一个可被3整除的正数。检验一个数是否是3的倍数有个简便的方法:将该数的各位数字加起来,看其和可否被3整除。例如111111是3的倍数,因为各数字之和6可被3整除。

写下选好的那个3的倍数。分别将其各位数字的立方求出,将这些立方相加组成一个新数,然后重复这个程序。比如,开始时取数321,那么其后过程如下:33 + 23 + 13 =36, 33 + 63 = 243, 23 + 43 + 33 =99, 93 + 93 = 145 8, 13 + 43 + 53 +33 =702, 73 +03 + 23 = 351, 33 +53 + 13 = 153,……于是又掉进了黑洞之中。