神奇的六边形

作者: 傅晖;李晖

冬天到了,面对着漫天大雪,小朋友欢呼雀跃:“多美的雪花呀! ”细心的小朋友还会惊喜地发现:雪花是六边形的!无独有偶,大自然的“能工巧匠”——蜜蜂能筑出令建筑大师叹为观止的“房子”,其实,蜂巢也是六边形的。这是巧合吗?不是,这小小的“六边形”里却包含有深刻的数学与经济学道理呢!

小朋友们一定玩过在白纸上拼图的游戏。如果我问大家:用同样大小的正多边形拼图,既要不产生图形的“重叠”,又不会产生图形间未能联接的“空缺”,这样的正多边形有哪些呢?小朋友回家可以做一做实验,或许能找到答案。在数学上这可是一个很深奥的问题,大数学家欧拉(Euler)早已做过深入的研究,他告诉我们:唯有正三边形、正四边形与正六边形才具备所要求的条件。看来,虽然正多边形种类无数,但符合条件的仅仅三个。

这一数学上的有趣现象引发了经济学家的思考。

第一,等面积的正多边形与非正多边形相比,在平面上拼接更为经济和有效。

我们可以证明给大家看:例如从一正四边形(面积1平方公里)的中心到达最远点的距离为0.707公里,其周长为4公里(大家动动手、算一算)。而与该正四边形面积相等的矩形(假定长为2公里,宽为0. 5公里),从其中心到最远点的距离为1. 031公里(比正四边形多出0.324公里),周长也由4公里变为5公里。这一结论在经济学上可有价值啦!对商业中心布设、交通网络建立等实际经济活动而言,显然正多边形要比等面积的非正多边形的总体经济效率要高得多。

第二,各种图形中,同等面积条件下圆形的经济效率是最高的。

我们知道,圆的内接正多边形的边数增加时,正多边形越来越接近圆,边数无限增加时正多边形就“变”成圆啦!大家一起算一算,你会发现,同样大小的圆和正四(六)边形相比,圆的半径是正四边形中心到各边交点距离的0.8倍,而却是六边形的0.9倍!也就是说正多边形边数越大,其中心到各边交点的距离越接近圆的半径。所以,正多边形边数越多,越接近圆的最优经济效率。

第三,三种可以完全拼接的正多边形中,正六边形在拼接上具有特殊的意义。

因为正六边形唯一地具有双重价值的功能。其一,它在数学意义上的图形拼接,既不“重叠”又无“空缺”,为其余正多边形所不具备(正三边形、正四边形除外)。其二,在等面积时,它又比正三边形、正四边形更接近圆的经济效率,它可以达到80%圆的经济效率,而正四边形只有50% ,正三边形则更低。

上面的介绍虽有点枯燥,但论证了一条很有价值的自然——经济的“六边形”规则。在初中中国地理“中国的行政区划”一节的学习中,我们可以验证“六边形”规则的存在。在中国32个省级行政单位中,不考虑直辖市、临海和边境省份的特殊情况,内陆省份周边的邻省个数平均值为5.6,十分接近六边形的边数(初中小朋友可计算验证此结论)。其中我国长江流域的湖南、湖北、江西、安微4省全是“六边形”。

神奇的六边形其经济意义十分广泛,城市商业中心也应遵此原则合理安排。城市商业中心呈六边形分布(六边形顶点为商业中心位置),高级商业中心的周围分布有六个低一级商业中心,依此类推。这是城市商业中心规划的一条重要原则,有兴趣的同学可以统计验证一下你所生活的城市,看一看商业中心的分布是否符合这一原则,或许还可写出一篇高质量的小论文呢!