多少个正方形和长方形

作者: 孙永大

张老师引导刘徽数学小组思考如下的问题:

如图所示,试问有多少个正方形?

甲生:有16个正方形。

乙生:外围还有一个大正方形,一共是17个正方形。

师:有一个大正方形,16个小正方形,有没有比大正方形小一点的正方形,比小正方形大一点的正方形?

丙生:有,比大正方形小一点的正方形有4个,比小正方形大一点的正方形有9个。

师:这样说来,边为4个单位长的正方形有1个,边为3个单位长的正方形有4个,边为2个单位长的正方形有9个,边为1个单位长的正方形有16个,这一共是多少个正方形?

丙生:一共是1+4+9 +16= 30个正方形。

师:如图所示的正方形个数问题解决了,在图的基础上,你还能提出其他问题吗?

甲生:老师,是否还可问图中有多个少长方形?

师:这个问题提得好,现在大家就来计算一下图中长方形的个数。

乙生:老师,我计算出来了,一共有70个长方形。

师:你是怎样计算出来的?

乙生:我是按以下方法计算的。宽为1个单位长、长为2个单位长的长方形个数为

3×4×2=24,

宽为1个单位长、长为3个单位长的长方形个数为

2×4×2= 16,

宽为1个单位长、长为4个单位长的长方形个数为

1×4×2 = 8,

宽为2个单位长、长为3个单位长的长方形个数为

2×3×2=12,

宽为2个单位长、长为4个单位长的长方形个数为

1×3×2=6,

宽为3个单位长、长为4个单位长的长方形个数为

1×2×2=4,

一共是 24 + 16 + 8 + 12 + 6 +4= 70个长方形。

师:是否还有遗漏的?

丙生:没有了。

师:想想看,正方形与长方形是什么关系?

甲生:正方形是长方形的特殊情况。

乙生:啊,我知道了,图中长方形的个数为

70+30=100。

师:这就对了。这个问题解决了,还可以提出其他问题吗?

丙生:问题所示的图形可以看作一个正方形,每边分成4等份所形成的图形,将图形一般化,可提出如下的问题:

如果一个正方形每边分成n等份,在等分点上作横竖平行线所形成的图形,试问有多少个正方形和长方形?

师:这是一个一般性问题,为了解决这个一般性问题可先考虑它的特殊情况,然后再找出规律性的东西,最后给出理论证明,这个问题留作大家事后慢慢去思考,这里就不讨论了。