由少到多找规律

作者: 孙水大

李小宁同学读了《从一个游戏问题谈反向思维》(见本刊1997 · 2) 一文后,很受启发。

文中谈到有这样一个游戏,甲、乙两人从1开始轮流数数,每人每次可顺次数1或2个数,谁先数到28谁赢。

作者从结果出发,反过来思考这个问题,找到了一列关键数1、4、7、…、22、25。这样一来,问题就转化成谁先数到关键数,然后顺着这些关键数往前,一定能取胜。

李小宁想,如果这个游戏最后不是数到28为止,而是数到29,又怎样呢?他又找到一列关键数2、5、8、…、23、26。并发现数列1、4、7、…、22、25相邻两项之差为3,数列2、5、8、…、23、26相领两项之差也是3,这难道是偶然的吗?在王老师的启发下,他终于发现如下规律:在这个游戏中,对于游戏者来说:该他数的时候,数目是(2 + 1)的倍数时,则对他不利。比如,从1开始,数到27为止。而27正好是3的倍数,那么谁先数,谁一定输。先考虑最简单情况3。当游戏者数1,对手可数2、3;当游戏者数1、2时,对手可数3。因此先数者一定输。接下去,当游戏者数4,对手可数5、6;当游戏者数4、5时,对手可数6。因此若数到6为止,先数者必输。如此继续下去,直到27为止,先数者必输。 而 28 = 3×9 + 1,29 = 3×9 +2。 因此在这种情况下,游戏者只要分别先数1个、2个,对手就处在不利情况,也就是说,谁先数,谁一定赢。

李小宁继续思考:在上面的游戏中,每人每次至多可数两个数。如果可以数3个数呢?他考虑了如下的游戏问题:

甲、乙两人从1开始轮流数数,每人每次最少数1个,最多数3个,谁先数到29谁赢。

利用反向思维,找到一列关键数

1、5、9、13、17、21、25。

如果数到30为止,一列关键数为2、6、10、14、18、22、26。

如果数到31为止,一列关键数为3、7、11、15、19、23、27。

上面三个数列,其相邻两项之差都是4,这说明在这个游戏中,对于游戏者来说,该他数的时候,数目是(3 + 1)的倍数时,则对他不利。比如,从1开始,数到28为止,而28正好是4的倍数;那么谁先数,谁一定输。而29=4×7 + 1,30 =4×7 + 2,31 =4×7+ 3,因此,在这样几种情况下,游戏者只要分别一次数1、2、3个,对手就处在不利情况,也就是说,谁先数,谁一定赢。

接着李小宁又考虑了如下的游戏问题:

甲、乙两人从1开始轮流数数,每人每次最少数1个,最多数4个。谁先数到31谁赢。请读者按上述方法类推,得出结果,我们结合以上两种结论,归纳总结是:

只要先数者分别一次数1、2、3、4个,就一定赢。

由少到多,由特殊到一般,通过上

面一些特殊游戏问题的观察、归纳,李小宁考虑了如下的一般游戏问题:

甲、乙两人从1开始数数,每人每次最少数1个,最多数rn个,谁先数到m 谁赢(n

有如下结论:当m=(n+1)s( s为任意自然数)时,谁先数,谁一定输;当m= (n + 1) s + r,1≤r≤n 时,只要游戏者先数r个,则谁先数,谁一定赢。

王老师肯定了李小宁同学这种由少到多找规律的思考方法,指出这是一个普遍的思考问题的方法,并且把这一游戏又以另一种形式提出来:从起初m个物体的一堆物体中,两个游戏者轮流取物,每人每次最少取一个,最多取n个,谁最后取尽这堆物体谁赢。你能够解答出来吗?