亦真亦幻 话悖论

作者: 单威雄

人们通常认为“数学真理是绝对真理”,“数学是逻辑推理严格性的典范”,然而正是在数学的严密中却隐藏着一颗定时炸弹——悖论。它不定时地引爆,一次又一次地引发数学危机,而危机的克服又无一例外地引起数学深刻的变革。因此,数学悖论以其神秘、深奥吸引着无数有志者为之献出毕生的精力,并且乐此不疲。

悖者,谬误也。悖论的出现要上溯到古希腊时代的“说谎者悖论”。克利特岛上的人说:克利特岛上的人是说谎者。如果这句话是真,则他自己(克利特岛人)便说谎,从而这句话是假。如果这句话是假,则克利特岛人不说谎,因而这句话可谓真。不管如何这句话总是自相矛盾。还有一个“理发师悖论”。理发师自己约定:只替不给自己理发的人理发。那么他到底替不替自己理发呢?如果他替自己理发,依上述约定,则他不该替自己理发。如果他不替自己理发,仍依上述约定,则他该替自己理发。无论哪一种,都出现矛盾。

如果说上述悖论仅资谈笑,透着幽默和机智,那么数学上的悖论则隐藏着诡秘和深沉的智慧。古希腊学者芝诺在公元5世纪的数学界曾搅起喧然大波,他居然提出一个《追龟说》,论述“神行太保”阿基里斯追逐乌龟的事。他的论点是:设阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍,乌龟在阿基里斯前面1公里外,两者同时起跑。当阿基里斯跑了1公里到达乌龟的出发处时,乌龟便向前爬了 1/10公里;阿基里斯再追1/10公里,乌龟又向前爬了 1/100公里;阿基里斯再追1/100公里,乌龟又向前爬了 1/1000公里;……就这样追呀追,永远相隔一小段距离,阿基里斯总追不上乌龟。尽管这听起来像天方夜谭,但就当时的数学水平而言,却是难以自圆其说的,因为其中包含了当时还无法理解的极限和无穷小等概念。芝诺还设计了另外二个悖论,都涉及了这些概念,引起了一场数学史上的大论战。正是对这些悖论的研究使某些模糊的概念清晰化,逐渐形成了初步的微积分思想,大大地促进了数学的发展。

被誉为“第二个牛顿”的数学家傅里叶曾被一个很简单的级数问题搞得焦头烂额。他把1-1 +1 -1 +1 -1 +.写成(1 -1) +(1-1) + (1-1) +……,其结果为0;若把它写成1 - (1 -1 +1 -1 +1-1+……),则有1-S = S,故S = 1/2。当时不知有多少人被这个悖论搞得昏昏沉沉,神魂颠倒,连大名鼎鼎的欧拉也束手无策,思想上出现很大的混乱。这些及后来的许多数学家的穷追不舍的努力,导致了无穷级数收敛和发散理论的产生。

最有名的当数罗素在1902年发现的“罗素悖论”:设R为一切不属于自身的集合(即不包含自身作为元素所组成的集合)。问R是否属于R?若R属于R,则R是R的元素,于是R不属于R,即R不属于R;反之,若R不属于R,则R不是R的元素,即R属于R,无论如何都是矛盾的。我们知道集合论是现代数学的基石,这一悖论使现代数学大厦将倾,所带来的震荡是全所未有的。好在数学家们对待悖论已有足够的经验,其着力探究集合论之未完美处的努力终于使裂隙复合,朴素集合论发展成现代数学之源——现代集合论。