奇偶趣题

作者: 张道弘

西大门小学万丹同学参加数学奥林匹克赛,获得金奖。这一天学校为她召开庆功会,来了很多人,有领导、教师、家长等。大家见了面热情地握手。有的人熟人多握了很多次手,有的人熟人少,只握了几次手。

会后指导老师把奥林匹克班的同学留下来,出了这样一道题:“今天到会有四百多人,人们互相握了很多次手。其中有的人握了奇数次手、有的人握了偶数次手。请你们证明握了奇数次手的人数一定是偶数。”

同学们听后面面相觑,感到这个问题太烦杂;“四百多人”多多少,不知道。有人可能与每一位客人都握了手,他就握了四百多次手,有的人可能只握了几次手,也可能有人一次也没握手,也可能有几人或几十人握手的次数一样多,也可能每个人握手的次数都不一样多,无头绪可理。而题目给的条件又太少,少到只有人数这一个条件,而且这个条件也是个模糊数字“四百多人”。同学们讲论了很久,找不到解题的思路。

万丹沉思了一会儿说:“老师,我想这个问题可以用我们学过的奇数、偶数的知识来解。”

老师说:“你给同学们讲讲你的想法吧。”

万丹说:“同学们,在解决这个问题之前我们先弄清楚几条我们要用到的关于奇偶数的基本原理。”随后她在黑板上写下了以下七个原理

1.奇数+奇数=偶数

2.偶数+偶数=偶数

3.奇数+偶数=奇数

4.任意个偶数的和还是偶数

5.奇数个奇数的和是奇数

6.偶数个奇数的和是偶数

7.奇数不等于偶数

“有了这几条原理,我们就可以证明今天握奇数次手的人数一定是偶数了。

“首先我们分析握手,握手一定是两个人互相握,也就是说每握一次手,就有两人次握手。所以不说今天有多少次握手。根据我们的基本原理4, '任意个偶数的总和还是偶数'。可以肯定,今天握手的总人次是个偶数。这是我们的第一个结论。

“下面我们把今天所有的人分为两类,一类人握了奇数次手;另一类人握了偶数次手。(注意:没有握手的人,他握手的次数为0,0能被2整除,它也属于偶数)

“我们分别求出这两类人握手总人次。然后把它加起来,就是今天握手的总人次。

“先分析握了偶数次手的人,尽管这些人中有的人可能握了四百多次手,有的人可能只握了几次手。但根据我们的基本原理4'任意个偶数的和还是偶数',可以断定这些人握手的总人次是个偶数,这是我们的第二个结论。

“下面进入正题,证明握了奇数次手的人数一定是偶数。

“先假设握了奇数次手的人数不是偶数,那只能是奇数。根据基本原理5'奇数个奇数的和是奇数'。把这个奇数与握了偶数次手的总次数那个偶数相加。根据基本原理3'奇数加偶数的和是奇数'。我们的第一个结论'总人次是个偶数',根据基本原理7'奇数不等于偶数',上述推论错误。

“我们改变假设。设握了奇数次手的人数是偶数。根据基本原理6'偶数个奇数的和是偶数'。把这个偶数与握了偶数次手的人的握手总次数那个偶数相加。根据基本原理2'偶数加偶数的和是偶数',与第一个结论相符。由此可得出第三个结论:握了奇数次手的人数一定是个偶数。此题得证。”

听到这里,同学们惊奇的说:“想不到,奇数、偶数,这么简单的两个概念,在解题中还有这么大的作用。”