河图与洛书

作者: 袁作兴(湖南)

中国是世界四大文明古国之一,早在5000年前对数与量就有一定程度的认识。中华民族原始文化发源于黄河邻近的洛水地区,史称“河洛文化”,河洛文化的基本内涵是自然数,它的具体表征就是“河图”与“洛书”(如图1,图2)。

图1河图

图2洛书

河图是由1到10的10个自然数的环形排列图(图3),表明我国先民对数的性质和运算的初步认识,它表示加法和减法的运算,奇数和偶数的区别,以及数的十进位扩展。河图10个数相加为55,被古人称为天地之数,所谓天数就是奇数,天数二十有五;地数就是偶数,地数三十。上述叙述可用如下算式表示:

1+3+5+7+9=25,

2+4+6+8+10=30,

25+30=55。

洛书是一种数阵,古代称为纵横图或九宫数,这种纵横图又称为幻方。洛书就是三阶幻方(如图4).是我国发明的最早的幻方。

洛书只用9个自然数排列成一个正方形,构成每行、每列及对角线上三个数的和是15。

河图、洛书中的奇数总和为50,偶数总和也为50,这就是所谓“大衍之数五十”。恰巧,32+42+52=50,而32+42=52,所以《周髀算经》解释说:“禹治洪水始广用勾股弦,故称其数为大衍数。”

河图10个数相加为55,洛书9个数相加为45,两者和为100,这些数字究竟有什么意义?我们看:

1 + 2+1=4=22

1 + 2+3+2+1 = 9=32

1 + 2+3+4+3+2+1 = 16=42

1+2+3+……+9+10+9+8+……+2+1=100=102

图3

图4三阶幻方

这表明,任何一个自然数的平方,可以用自然数的加法求出,其算术平方根可以用简单的减法求得。因为,1 +2 + …+n +(n -1)+(n -2) + …+2 +1=[n · (1 + n)]/2+[(n -1) · n]/2=n2

这也许就是河图数与洛书数的关联吧?

从河图、洛书可以引发出许多有趣的数字游戏,我们略举几例:

1. 一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始每一个数都是前两个数的和。即

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……

问这串数的前100个数中(包括第100个数)有多少个偶数?

解:观察这串数,可知每隔两个便出现一个偶数,这一串数从两个奇数开始,由

奇+奇=偶,奇+偶=奇;

偶+奇=奇,偶+偶=偶;

便知这串数是按奇奇偶奇奇偶奇奇偶……的规律变化的,因而每三个数便有一个偶数。由此知这串数的前99个数中有33个偶数,但第100个数是奇数,所以这串数的前100个数应有33个偶数。

2.将1～6六个自然数填入图5黑点处,使得圆周上各数之和都相等。

图5

解:设每个圆周上各数之和为m,三个圆周即为3m,将三个圆周上的数字通通加起来共12个数字,1～6这六个数都重复计算了一次,而1+2 + 3+4 + 5+6 = 21,所以3m = 42,推得m=14,即圆周上四数之和为14,其余两数之和应为21 - 14 = 7,在1～6这六个数中两数之和为7的有1+6, 2+5, 3+4三组,由此不难定出各数的位置。此题只有一种类型解,但有48种不同形式。

3.将1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这九个数字填入三阶幻方,使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍,第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。

这个问题解答并不难,但比较麻烦。运用估算与凑合结合的方法,逐步试验,就可以得出本题的解答如下:

图6

由河图、洛书还可以开发出许多益智游戏,这种游戏既可以启迪智力,又可以锻炼逻辑思维。在这里我们也略举几例供读者思考。

1.春节晚会上,杨春和一些同学表演了他们设计的一个新颖幻方(如图7),先准备几只图钉和几张硬纸片条。在这个幻方上随便圈定一个数,然后用硬纸条将这个数所在的行与列蒙上,并将图钉按在这个数上;再请同学们在没有盖没的数字中随便选一个数,重复上述做法,这样连续五次,幻方中全部数字都盖没了。最后请同学们将图钉按的数加起来,一算是96,即是1996的最后两位数字。大家十分惊喜,响起了阵阵掌声。它的奥妙何在?

图7

2.在九宫格中原先有八个棋子排列如图8,谁能用最少的时间或最少的步数将其变成图9的形式,就算获胜。(答:最少需走30步)

图8

图9

图10

3.将1～8这八个自然数填入立方体各顶点的圆圈上,使各面数字和相等(如图10)。

河图、洛书包含着丰富的数学原理,特别是洛书,自传到西方以后,各国数学家对纵横图作了深入的研究,发展成为一种专门的学问——图论(属组合数学)。实际上,欧洲14世纪才开始研究幻方的构造,比我国要晚2000年左右。

在幻方(纵横图、魔方)世界中各种幻方形形色色,形式稀奇古怪,性质光怪陆离,并且在现代科学的各个领域有着广泛的应用。

有些科学家设想:如果我们的宇宙飞船飞到了一个有高级智慧生物存在的星球上,用什么东西来作媒介,沟通相互之间的思想呢?应用几何数字图形,第一个供选择的就是河图洛书。

上期答案:

1.最大正方形面积为4,不存在最小面积的正方形;

2.将正方形纸最多分成7块。