杯子里的互质数

作者: 肖泉

精彩故事秀

从前,在匈牙利,有一个叫埃杜斯的数学家。他听人说,有个叫波沙的12岁男孩,非常聪明,特别能解数学题。埃杜斯就想,应该去考考他,看看这个小孩是不是真的像别人说的那么聪明。

经过询问埃杜斯终于找到波沙的家,见到了小波沙。波沙的家人热情款待了他。埃杜斯坐下来以后,说明了自己的来意,并向波沙提了一个问题:“从1、2、3直到100,随便取出51个数,至少有两个数是互质的,你能说出其中的道理吗?”

小朋友可能会问:什么是互质数呢?比如说,2和7,它们之间没有公约数,我们称它们为“互质数”。

波沙想了一会儿,就知道这个题该怎么解了。只见他不慌不忙地把爸爸、妈妈和埃杜斯先生面前的杯子都拿到自己的面前,说:“先生,比如说这里一共有50个杯子。我把1和2这两个数放进第一个杯子,把3和4这两个数放进第二个杯子,这样两个、两个地往杯子里放,最后把99和100两个数放进第50个杯子,我这样放可以吧?”

埃杜斯先生点点头。

小波沙又说:“因为你刚才说,要从里面挑出5 1个数,所以至少有一只杯子里的数全被我挑走,而两个连续的自然数,当然就会互质了!”

埃杜斯先生问:“你为什么这么说两个连续的自然数会互质呢?”

波沙说出了自己的道理。

埃杜斯先生感叹道:“你答得真好啊!”

小朋友们,你们知道小波沙是用了什么方法证明的吗?

科学直通车

我们可以设相邻的两个自然数为a和b。它们如果不互质,那么它们必然有大于1的公约数c,c也一定是b-a的公约数。但b-a等于1,不可能有大于1的约数。因此,相邻的两个自然数一定是互质数了。

年轻的小波沙能够想到这一点,自然令埃杜斯叹服。

小波沙向我们展示了一种互质数的判断方式。这样的判断法还有很多,大家要记住并会运用它们。

概念判断法:公约数只有1的两个数叫做互质数。根据互质数的概念可以对一组数是否互质进行判断。例如:9和11的公约数只有1,则它们是互质数。

规律判断法:

(1)两个不相同的质数一定是互质数。例如:7和11、17和31是互质数。

(2)两个连续的自然数一定是互质数。例如:4和5、13和14是互质数。

(3)相邻的两个奇数一定是互质数。例如:5和7、75和77是互质数。

(4)1和其他所有的自然数一定是互质数。例如:1和4、1和13是互质数。

知识链

什么是质数?就是在所有比1大的整数中,除了1和它本身以外,不再有别的约数,这种整数叫做质数,质数又叫做素数。还可以说成质数只有两个约数。质数的排列杂乱无章,到现在人们也没有寻找到质数的循环规律。