从类比推理到科学发现

作者: 沈文选

归纳推理是对同类事物的一些情形作若干次观察、实验之后,在一系列结果中获得这类事物的共同性质的结论。而类比推理是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其它方面也可能存在相同或相似的结论。类比推理可使我们对甲类事物的认识推移到对乙类事物的认识,扩大认识领域,启发我们联想,进行创造性思维,从而发现新东西。

例如,计算

此题虽可用小学学过的分数知识来解,但繁且难。如果注意到计算式中的数的特征,并将数与式类比,分数与分式类比,则可简捷求解。设51/3=a,21/4-11/5=b,11/3+11/2= c 则

类似于上例,也可以简捷计算如下问题:

1.计算 1999 × 20002000 - 2000 × 19991999;

2.计算.1999~3-1999~2-1998/1999~3+1999~2-2000.

略解 此时可设1999=a,则

1.原式= a[1000(a+1)+(a+1)]-(a + 1)(10000 a + a) = 0;

由上可知,我们是运用类比推理将处理整式、分式问题的手法运用到处理比较繁难的整数、分数问题中去,从而得到了简捷的解答方法。这样的类比常称为反类比。我们在学习整式、分式等知识时,进行类比推理将整数、分数知识运用到学习整式、分式知识中,这样的类比常称为正类比。

显然,为了能灵活运用反类比,先必须运用好正类比学习并掌握更多的知识。

当进入初中,很快就要学习整式的因式分解、分式的概念与运算等,而这又是学习中的难点内容。这时,我们应借助于正类比来学习。

对于因式分解,首先从分解的目的上类比。算术里学习分数时,为了约分与通分的需要,必须学习把一个整数分解因数。类似的,代数里学完了整式四则运算就开始学习分式,为了约分与通分,也必须学会把一个多项式分解因式。其次从因式分解的形式上类比,如把整数21因数分解为3×7。类似地,整式a~2-b~2是a+b与a-b乘积的结果,因而多项式a~2-b~2因式分解为 (a + b)·(a-b) ,a + b, a - b 都是 a~2 - b~2 的因式。这样类比,不仅可以领会因式分解的意义,而且为因式分解的方法指明了思路;最后还可从因式分解的结果上类比,算术里把一个整数分解为质因数幂的形式,如24 =2~3 · 3。类似地,把一个多项式分解因式,要分解到每一个因式都不能再分解为止,即分解后的因式必须是质因式。这样的类比既是一种由特殊到一般的思维,使我们认识到从数到式的发展过程,也是一种由已知获得新知的推理过程。

同样,我们在学习分式的知识时,进行类比推理将分数知识运用进去;在学习相似形知识时,进行类比推理将全等知识运用进去;在学习立体几何知识时,运用类比推理将平面几何知识运用进去……这将使我们的学习犹如快马加鞭,事半功倍。学习是如此,科学研究更是如此。

当然,类比推理得到的结论,不一定都正确,但它在人们认识活动中却有着重要作用。科学研究的重要任务,就在于揭露对象性质之间的关系及其结构的相同或相似,这正是类比推理的作用。科学上的不少重要发明、发现,都是通过类比推理获得的。鲁班通过类比推理发明了锯子;牛顿把地球上物体的运动,特别是自由落体运动与天体运动之间进行类比,提出了著名的万有引力理论。数学上的不少重大发现也是由类比推理或类比提供线索获得的,例如著名数学家欧拉运用类比获得非零自然数平方的倒数和为π~2/6等等。